уравнения движения примеры

1,27 Mb.страница3/5Дата конвертации02.10.2011Размер1,27 Mb.Тип Смотрите также:     3     Задача Д1 ^ Дифференциальные уравнения движения материальной точки Тело с массой m движется из точки A по участку AB плоскости под действием собственного веса и силы F в течение tB секунд. При этом его начальная скорость равна vA, a коэффициент трения скольжения тела по плоскости - f. В точке B тело покидает плоскость со скоростью vB и попадает со скоростью vC в точку C другой плоскости через tC секунд. Часть из параметров задана таблицей. Требуется: определить параметры движения, недостающие в таблице; найти уравнение траектории движения тела на участке BC; показать на рисунке траекторию движения. Расчётная схемаИсходные данные и искомые величины Второе число шифра a, град b, град m, кг f F, Н l, м vА, м/с vB, м/с tB, с tC, с s, м h, м b, м 1 40 60 1,0 0,10 10 8 9 11 Р е ш е н и е Движение тела состоит из двух этапов: прямолинейного по участку АВ и криволинейного по кривой ВС. Рассмотрим их последовательно. ^ Участок АВ. Введём систему координатных осей х1, у1 с началом координат в точке А. Движение точки начинается в момент времени t = 0 из точки А в сторону точки В, т.е. в положительном направлении оси x1. Изобразим силы, действующие на тело, и обозначим через G, R, N, F. Определим их значения: G = m g сила тяжести, направленная вниз, её модуль является весом тела; N = G cosa = m g cosa - реакция связи (поверхности АВ), R = f N = f m g cosa сила трения скольжения. Составим дифференциальное уравнение движения , где  - проекции сил на координатную ось. Подставляя их значения в уравнение, получим или (1) Разделим левую и правую части уравнения (1) на m, обозначим (2) и запишем (3) Очевидно, что а здесь соответствует ускорению тела, направленному вдоль оси x1. Получено обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, правая часть которого является постоянной величиной. К уравнению (3) присоединяются начальные условия, т.е. условия начала движения в точке А. Начальные координата и скорость равны . (4) Интегрируя (3) дважды, имеем (5)  (6) Здесь C1 и C2 - неизвестные постоянные интегрирования, которые можно найти из начальных условий (4). При t = 0 уравнения (5) и (6) в силу (4) примут вид vA = C1, 0 = C2. Таким образом, произвольные постоянные найдены, и уравнения (5), (6) можно переписать в виде (7) (8) Выпишем уравнения (7) и (8) в точке B при значениях времени t = tB и координаты (9) Полученные уравнения образуют алгебраическую систему относительно пяти параметров движения: vA, vB, l, a, tB. Параметры vA и l заданы, ускорение a можно вычислить по формуле (2) Неизвестные  vB и tB находятся легко из системы уравнений. Второе уравнение в (9) является квадратным и имеет решение  Второй корень квадратного уравнения не вычисляется, так как соответствует отрицательному значению tB и поэтому не реализуется. Имея значение tB, находим скорость в точке B по первой формуле из (9) vB = atB + vA = 2,94370,788 + 9 = 11,32 м/с. (10) Участок BC. Для этого участка удобнее иметь другую систему координат, и поэтому вводим новые оси x, y. Теперь движение тела рассматриваем именно в этой системе. С учётом того, что действует лишь одна сила G, составляем дифференциальные уравнения для второго этапа движения После сокращения на m получим (11) Для решения дифференциальных уравнений (11) к ним должны быть присоединены начальные условия. Часть их них известна в силу выбора системы координат x(0) = 0, y(0) = 0. (12) Но их недостаточно, должны быть известными и проекции вектора скорости на оси x и y в точке B, т. е. vBx и vBy. Найдём их с учётом (10), и таким образом к начальным условиям (12) добавятся дополнительно  (13) Интегрируя дифференциальные уравнения (11) дважды, имеем ,  (14) Запишем полученные уравнения при t = 0 С учётом (12) , (13) найдём, что C3 = vBx, C4 = vBy, C5 = 0, C6 = 0. Уравнения (14)

Методические указания, примеры выполнения

Задача Д1 ^ Дифференциальные уравнения движения материальной точки - Методические указания, примеры выполнения